Олимпиадные задачи муниципального этапа всероссийской олимпиады школьников по математике

7 класс

  1. Представьте число 2010 в виде суммы пяти натуральных чисел, произведение которых делится на 10 000 000 000.
  2. Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод?
  3. В ящике 25 кг гвоздей. Как с помощью чашечных весов и одной гири в 1 кг за два взвешивания отмерить 19 кг гвоздей?
  4. Рядовой Степанов почистил ведро картошки за 4 часа, и у него 20% всей картошки ушло в очистки. За сколько часов он начистит такое же ведро картошки?
  5. За круглым столом сидят 9 человек: рыцари (говорящие всегда правду) и лжецы (лгущие всегда). Каждый сказал: «Мои соседи – лжец и рыцарь». Сколько всего лжецов за столом?

8 класс

  1. Найдите последнюю цифру числа 20092010.
  2. Дома у Олега есть сейф, но кода он не знает. Бабушка рассказала Олегу, что код состоит из 7 цифр - двоек и троек, причем двоек больше, чем троек. А дедушка - что код делится и на 3, и на 4. Сможет ли Олег с первой попытки открыть сейф?
  3. Представьте в виде квадрата суммы выражение (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1.
  4. У звезды ACEBD равны углы при вершинах A и B, углы при вершинах E и C, а также равны длины отрезков AC и BE. Известно, что AD = 10 см. Найдите BD.
  5. На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, желтый, зеленый. Известно, что красная фигура лежит между синей и зеленой; справа от желтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и желтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком порядке лежат фигуры и какого они цвета.

9 класс

  1. В коробке лежат 2009 белых и 2010 черных шаров. Они тщательно перемешаны. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из коробки не глядя, чтобы среди них обязательно нашлись 340 шаров одного цвета?
  2. Докажите, что если a + b + c = 0 (a ≠ 0), то ab + bc + ca < 0.
  3. Набор, состоящий из чисел a, b, c, заменили на набор a4  2b2, b4  2c2, c4 - 2a2. В результате получившийся набор совпал с исходным. Найдите числа a, b, c, если их сумма равна -3.
  4. В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты AD и СЕ. Точки М и N – основания перпендикуляров, опущенных на прямую DE из точек А и С соответственно. Докажите, что МЕ = DN.
  5. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белую и черную ладьи так, чтобы они не били друг друга?

10 класс

  1. Решить неравенство (х-1)(х2-1)(х3-1)…(х2010-1)≤0.
  2. Рассматриваются квадратичные функции у = х2+рх+q, у которых р+q=2010. Докажите, что их графики проходят через одну точку.
  3. Может ли дискриминант квадратного трехчлена с целыми коэффициентами равняться 23?
  4. Найдите треугольник наибольшей площади, который можно вписать в данную окружность.
  5. Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей так, чтобы получилась допустимая правилами игры позиция?

11 класс

    1. Решить систему уравнений в неотрицательных действительных числах
    2. Первая и вторая цифры двухзначного числа N являются соответственно первым и вторым членами некоторой геометрической прогрессии, а само число N втрое больше третьего члена этой прогрессии. Найдите все такие числа N.
    3. Касательная к графику функции у=х2 пересекает координатные оси Ох и Оу в точках А и В так, что ОА=ОВ. Найдите длину отрезка АВ.
    4. Для каждого из восьми сечений куба с ребром а, являющихся треугольниками с вершинами в серединах ребер куба, рассматривается точка пересечения высот сечения. Найдите объем многогранника с вершинами в этих восьми точках.
    5. Две команды играют в футбол до 10 голов (встреча прекращается, как только какая-то команда забьет 10 голов). В процессе игры заполняется протокол, в который вносится счет после каждого изменения счета, например 0:0, 0:1, 0:2, 1:2, …, 5:10. Сколько разных протоколов может получиться?